PRODUCTO DE POLINOMIO

PRODUCTOS NOTABLES

Es un producto que cumple con ciertas reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección. también se llama producto notable a los resultados del producto entre dos expresiones algebraicas cuyas características se pueden generalizar a través de formulas especiales. Veamos algunas de ellas:    

Ø Cuadrado de una suma : es igual cuadrado del primer término mas el doble del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo termino

Ejemplos:

(x + 3)² = x² + 2(3x) + 3² = x² + 6x + 9

(2a + b)² = (2a)² + 2(2a)b + b² = 4a² + 4ab + b²

Ø Cuadrado de una diferencia: es igual al cuadrado del primer termino, menos el doble producto del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo.

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² − 12 x + 9

Ø Producto de una suma por una diferencia: es igual a la diferencia de cuadrados

(a + b) · (a − b) = a² − b²

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)² − 5² = 4x² − 25

Ø Producto de dos binomios con un término en común: es igual al cuadrado del termino común, mas el producto del termino común por la suma algebraica de los términos no comunes, mas el producto de los términos no comunes , es decir

(a+b)(a+c) = a²+a(b+c)+ bc

Ejemplo:

(x + 2)(x + 7 )=x² +(2 + 7)x+(2)(7)= x² +9x+14

• ØCubo de una Suma: Es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(x + 3)³ = x ³ + 3 · x² · 3 + 3 · x· 3² + 3³ =

= x ³ + 9x² + 27x + 27

Ø Cubo de una diferencia: es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

(2x - 3)³ = (2x)³ - 3 · (2x)² ·3 + 3 · 2x· 3² - 3³ =

= 8x ³ - 36 x² + 54 x - 27

ØTrinomio al cuadrado: es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x² − x + 1)² = (x²)² + (−x)² + 1² +2 · x² · (−x) + 2 x² · 1 + 2 · (−x) · 1 =x⁴ + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x =x⁴ − 2x³ + 3x² − 2x + 1

Calcular el cuadrado de un número usando productos notables

Calcular el cuadrado de 40

40=(28+12)

(28+12)²=(28)²+2(28)(12)+(12)²=784+672+144=1600

Actividad

Resolver los siguientes productos notables

1)(x + 5)² =                             

2) ( a – 3)² =                        

3) ( 2x + 7)² =                            

4) (ax² -by)² =                                                                         

5) (2/3x + 9y)² =                          

6) (9x – 4) (9x + 4)= 

7)(4/6y +5abc²)³                         

8) (7a²x³ -2 xa²)³                                                                                     

9) (5y +2/7 x)(5y -2/7 x)=                                                   

10) (2r – 3s)(2r+ 4m²)=

Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.

FACTORIZACION

Es una operación que consiste en encontrar los números o términos que se multiplicaron para obtener ese producto, es decir, la factorización es la operación inversa de los productos notables

Factor: es un elemento que está contenido en todo y cada uno de los términos del polinomio

Factorización de números: es el proceso que consiste en expresar un número natural como producto de dos o más factores primos

Ejemplo

24=2³.3 donde 2³ y 3 son factores de primos de 24     

Factorización de polinomios: es el proceso mediante el cual un polinomio es expresado como producto de dos o más polinomios de grado menor o igual que el suyo

Caso I Factor común

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos sus términos tienen algo en común (puede ser un numero, una letra o una combinación de los dos), sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes

Factor Común monomio: es un monomio cuyo coeficiente es el máximo común divisor de los coeficientes del polinomio y cuya parte literal está formada por las variables comunes con su menor exponente

Ejemplos

ax+bx=x(a+b)

X³ –x²=x²(x-1)

3x³ y² + 9x² y² – 18xy² = 3xy² (x² + 3x – 6)

Factor común polinomio: es un polinomio que se repite como factor en cada uno de los términos de un polinomio

Ejemplos

4(x+y)+3(x+Y)=(4+3)(x+y)

x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)

Factor común por agrupación de términos: cuando todos los términos de un polinomio no tienen la misma parte literal, se agrupan los términos que si la tienen y se hallan los respectivos factores comunes.

Ejemplo

ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y) 

Y²-x²+y-x²y=(y²+y)-(x²y+x²)=y(y+1)-x²(y+1)=(y+1)(y-x²)

 Caso II Factorización de cuadrados perfectos es cuadrado perfecto si dos de sus términos son cuadrados perfectos; esto se puede escribir en la forma a² y b²   y el termino restante es igual al doble producto de a por b, es decir,

 

  a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Ejemplo

1) a²=x² luego a=x ˄ b²=25 luego b=5

2) 2ab=2(x)(5)=10x

Luego, el trinomio es cuadrado perfecto, por lo tanto

(x+5)²= x²+10x+25

Caso III Factorizacion de un trinomio de la forma x2 + bx + c: consiste en hallar p+q=b y p.q=c, es decir, es el producto de dos binomios que tienen un termino comun

(x+p)(x+q)= x²+(p+q)x+p.q

Ejemplos

 1.x2 + 5x + 6 

p+q=5 y p.q=6 luego  p=2 y q=3

x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

2.     x2 + x - 2

p+q=1 y pq=-2 luego p=2 y q=-1

       x2 + x - 2=(x + 2) (x - 1)

Ejemplos

•  x⁴ − 16 = (x² + 4)(x² − 4) = (X + 2)(X − 2)(x² + 4)
• x² − 9 = (X + 3) (X − 3) 

 Caso IV Factorizacion de un trinomio de la forma a x² + bx +c:Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x² + bx +c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x₁ y x₂, el polinomio descompuesto será:a x² + bx +c = a · (x -x₁ ) · (x -x₂ )

Ejemplo

x⁴ − 10x² + 9

x² = t

x⁴ − 10x² + 9 = 0

t² − 10t + 9 = 0

x⁴ − 10x² + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

Caso VI Factorizacion de adicion o sustraccion de cubos.

Adicion de cubos: es igual al producto de dos polinomios , es decir, a³ + b³ = ( a + b ) ( a² – ab + b²)

Ejemplo 

X3+27=(x+3)(x2-3x+9)

Sustraccion de cubos:Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.  

a³ - b³ = ( a - b ) ( a² + ab + b²) 

Ejemplo

27x³-8y³=(3x-2y)(9x²+6xy+4y²)

Caso VII Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer termino, mas el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero.

( a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = a² + b² + c² + 2 ( ab + bc + ac) 

Caso VIII Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)³ = a³ + b³ + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c) 

Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero 

Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado ax⁴+bx³+cx²+dx+e tiene cuatro raíces enteras,x₁ ,x₂ ,x₃ y x₄ se factoriza así:

ax⁴+bx³+cx²+dx+e=(x-x₁)( x-x₂)( x-x₃)( x-x₄)

	1	-12	41	-30
1		1	-11	30
	1	-11	30	0
5		5	-30
	1	-6	0