PRODUCTOS NOTABLES

Es un producto que cumple con ciertas reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección. también se llama producto notable a los resultados del producto entre dos expresiones algebraicas cuyas características se pueden generalizar a través de formulas especiales. Veamos algunas de ellas:    

Ø Cuadrado de una suma : es igual cuadrado del primer término mas el doble del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo termino

Ejemplos:

(x + 3)² = x² + 2(3x) + 3² = x² + 6x + 9

(2a + b)² = (2a)² + 2(2a)b + b² = 4a² + 4ab + b²

Ø Cuadrado de una diferencia: es igual al cuadrado del primer termino, menos el doble producto del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo.

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² − 12 x + 9

Ø Producto de una suma por una diferencia: es igual a la diferencia de cuadrados

(a + b) · (a − b) = a² − b²

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)² − 5² = 4x² − 25

Ø Producto de dos binomios con un término en común: es igual al cuadrado del termino común, mas el producto del termino común por la suma algebraica de los términos no comunes, mas el producto de los términos no comunes , es decir

(a+b)(a+c) = a²+a(b+c)+ bc

Ejemplo:

(x + 2)(x + 7 )=x² +(2 + 7)x+(2)(7)= x² +9x+14

• ØCubo de una Suma: Es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(x + 3)³ = x ³ + 3 · x² · 3 + 3 · x· 3² + 3³ =

= x ³ + 9x² + 27x + 27

Ø Cubo de una diferencia: es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

(2x - 3)³ = (2x)³ - 3 · (2x)² ·3 + 3 · 2x· 3² - 3³ =

= 8x ³ - 36 x² + 54 x - 27

ØTrinomio al cuadrado: es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x² − x + 1)² = (x²)² + (−x)² + 1² +2 · x² · (−x) + 2 x² · 1 + 2 · (−x) · 1 =x⁴ + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x =x⁴ − 2x³ + 3x² − 2x + 1

Calcular el cuadrado de un número usando productos notables

Calcular el cuadrado de 40

40=(28+12)

(28+12)²=(28)²+2(28)(12)+(12)²=784+672+144=1600

Actividad

Resolver los siguientes productos notables

1)(x + 5)² =                             

2) ( a – 3)² =                        

3) ( 2x + 7)² =                            

4) (ax² -by)² =                                                                         

5) (2/3x + 9y)² =                          

6) (9x – 4) (9x + 4)= 

7)(4/6y +5abc²)³                         

8) (7a²x³ -2 xa²)³                                                                                     

9) (5y +2/7 x)(5y -2/7 x)=                                                   

10) (2r – 3s)(2r+ 4m²)=

Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.